Os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área finita. Mandelbrot, constatou ainda que todas estas formas e padrões, possuíam algumas características comuns e que havia uma curiosa e interessante relação entre estes objetos e aqueles encontrados na natureza.
Um fractal é gerado a partir de uma fórmula matemática, muitas vezes simples, mas que aplicada de forma iterativa, produz resultados fascinantes e impressionantes.
Uma 1ª definição, pelo próprio Mandelbrot, diz que: "Um conjunto é dito fractal se a dimensão Hausdorff deste conjunto for maior do que a sua dimensão topológica". Contudo, no decorrer do tempo ficou bastante claro que esta definição era muito restrita, embora apresentasse algumas motivações pertinentes.
Existem duas categorias de fractais: os geométricos, que repetem continuamente um modelo padrão e os aleatórios, que são feitos através dos computadores.
Além de se apresentarem como formas geométricas, os fractais representam funções reais ou complexas e apresentam determinadas características: auto-semelhança, a dimensionalidade e a complexidade infinita.
Uma figura é auto-semelhante se uma parte dela é semelhante a toda a figura. Podemos observar esta característica na curva de Koch.
Esta curva deu origem a outro fractal, conhecido como floco de neve ou ilha de Von Koch (modelo rudimentar da costa de uma ilha e muito semelhante a um floco de neve).
TEORIA DO CAOS
"O Caos não tem estátua nem figura e não pode ser imaginado; é um espaço que só pode ser conhecido pelas coisas que nele existem e ele contém o universo infinito."
Frances A. Yates
Na Mitologia grega, o Caos era considerado o estado não organizado, ou o nada, de onde todas as coisas surgiam. De acordo com a Teogonia de Hesiold, o Caos precedeu a origem, não só do mundo, mas também dos deuses. A cosmogonia de Orphic afirma que Chronos (personificação do tempo) deu origem a Ether e a Caos, este formou um enorme ovo de onde nasceu o Paraíso, a Terra e Eros.
Actualmente, com o desenvolvimento da Matemática e das outras ciências, a Teoria do Caos surgiu com o objectivo de compreender e dar resposta às flutuações erráticas e irregulares que se encontram na Natureza, resíduos da formação primordial vinda do grande ovo de Caos.
A ciência do Caos é relativamente recente e é considerada a terceira grande revelação deste século nas ciências físicas.
A investigação do Caos teve início nos anos 60, quando se descobriu que sistemas complexos, que podiam descrever possíveis previsões do tempo, podiam ser traduzidos por equações matemáticas simples. Do mesmo modo, sistemas que eram aparentemente simples e modelos deterministas, podiam levar a problemas muito complexos.
Através do estudo desta ciência, verificou-se que um sistema passa facilmente de um estado de ordem para um estado caótico, podendo surgir, por vezes de uma maneira espontânea, dentro do caos, a ordem. Também foi verificado que pequenas diferenças nas condições iniciais de um sistema podem conduzir a diferenças bastante significativas no resultado final, sendo deste modo fortemente abalado o paradigma da física determinista.
Porém, compreendendo o comportamento caótico, muitas vezes é possível entender como o sistema se comportará como um todo ao longo do tempo.
Esta ciência tem proporcionado algumas descobertas extraordinárias e levantado questões tão problemáticas que a tornam muito interessante e desafiante.
A geometria fractal está intimamente ligada à Teoria do Caos. São as estruturas quebradas, complexas, estranhas e belas desta geometria que conferem uma certa ordem ao caos, e esta é muitas vezes caracterizada como sendo a linguagem do caos.
A geometria fractal busca padrões organizados de comportamento dentro de um sistema aparentemente aleatório.
Vejamos o seguinte exemplo:
O João sai de casa às 9 horas para visitar a avó que vive a 30 Km.
Ao sair de casa, fica preso no elevador, por falta de corrente, o que o faz demorar 5 minutos e perder o autocarro que passa de 10 em 10 minutos (passou às 9 horas e 4 minutos). Chega à estação, acabando de perder o comboio (só o viu ao fundo da linha), o próximo é daí a 2 horas.
Esta relação é um bom exemplo de caos: uma pequena alteração pode provocar uma diferença considerável, como no caso anterior.
Mas também pode acontecer que uma alteração não origine uma diferença significativa como se pode ver na situação seguinte:
Se o João tivesse saído de casa às 8 horas e 59 minutos, o elevador não tinha parado e teria chegado a horas a casa da avó.
Mas a mais pequena alteração pode ter consequências imprevisíveis.
Neste exemplo, saíndo às 9 horas, apenas um minuto mais tarde, o João vai chegar a casa da avó 2 horas e 14 minutos mais tarde.
Outra relação existente entre a geometria fractal e a Teoria dos Caos prende-se com o facto de ambas se terem desenvolvido e crescido graças ao desenvolvimento da informática. No entanto, embora a utilização de computadores seja indispensável, não podemos confiar cegamente nos computadores pois uma alteração mínima nas condições iniciais pode ser o suficiente para que o resultado sofra mudanças bastante significativas.
Apesar das inúmeras aplicações e utilidades, os fractais ainda têm um longo caminho pela frente. Faltam muitas ferramentas e vários problemas continuam sem solução. Uma teoria completa e unificada é necessária e a pesquisa prossegue neste sentido.
"O mundo que nos cerca é caótico, mas podemos tentar limitá-lo no computador. A geometria fractal é uma imagem muito versátil que nos ajuda a lidar com os fenômenos caóticos e imprevisíveis."
Benoît Mandelbrot
